Ce cours est une introduction à l'analyse complexe.
Rappels sur le nombres complexes ; séries entières, dérivée complexe, fonctions holomorphes, equations de Cauchy-Riemann ; exponentielle et racine complexe ; théorème intégral de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème des residus ; séries de Laurent, fonctions méromorphes, singularités ; application au calcul d'intégrales réelles.
La partie théorique du cours sera développée pendant le CM.
Le cours va commencer le 10 janvier.
Les nombres complexes.
Racines, suites complexes, ensembles ouverts et fermés, compacts, connexes du plan complexe, continuité, limites, fonctions dérivables et fonctions holomorphes.
Équations de CR. Courbes et chemins. Intégrales. Théorèmes de Cauchy.
Fonction exponentielle. Domaines simplement connexes et primitives.
Logarithme. Séries convergentes et absolument convergentes. Séries entières. Rayon de convergence.
Théorème de Cauchy-Hadamard, critère de D'Alembert. Série de l'exponentielle, du logarithme. Théorème de Taylor. Théorème de Liouville. Démonstration du théorème fundamental de l'algèbre.
Ordre d'un zéro. Les zéros sont isolés. Principe du prolongement analytique. Théorème de Laurent. Singularités isolées : apparentes, poles, essentielles. Fonctions méromorphes. Théorème des résidus. Applications.
Des feuilles de TD seront distribuées pendant le cours.
Le contrôle continu aura lieu le 14/2 8h00.
L'examen aura lieu en mai.