Ce cours est une introduction à l'analyse complexe.
Rappels sur le nombres complexes ; séries entières, dérivée complexe, fonctions holomorphes, equations de Cauchy-Riemann ; exponentielle et racine complexe ; théorème intégral de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème des residus ; séries de Laurent, fonctions méromorphes, singularités ; application au calcul d'intégrales réelles.
La partie théorique du cours sera développée pendant le CM.
Une feuille de TD sera distribuée au début du cours.
Les nombres complexes : opérations, conjugué, module, argument, notation exponentielle.
Racines, suites complexes, ensembles ouverts, fermés, compacts, connexes du plan complexe. Fonctions complexes, continuité, limites.
Fonctions dérivables et fonctions holomorphes. Équations de CR. Courbes et chemins.
Fonction exponentielle. Intégrales. Primitives.
Théorèmes de Cauchy. Domaines simplement connexes et primitives. Logarithme. Séries convergentes et absolument convergentes. Séries entières.
Rayon de convergence. Théorème de Cauchy-Hadamard, critère de D'Alembert. Série de l'exponentielle, du logarithme. Théorème de Taylor. Théorème de Liouville. Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre.
Ordre d'un zéro. Les zéros sont isolés. Principe du prolongement analytique. Théorème de Laurent. Singularités isolées : apparentes, pôles, essentielles. Fonctions méromorphes. Théorème des résidus. Applications.