Mathématiques pour la Physique et la Chimie I - A

Cours de la première année de Licence, Université de Bourgogne, premier semestre 2024-25.

Description

Le module MaPC1A est une introduction à la théorie des fonctions d’une variable réelle et aux outils plus importants pour les étudier, notamment les limites, dérivées, intégrales, primitives, et développements limités.

Objectifs

  1. Connaître les fonctions élémentaires d'une variable réelle et leurs propriétés.
  2. Savoir calculer les limites, dérivées, primitives, intégrales et développements limités.

Chapitres

  1. Rappels
  2. Fonctions, limites, continuité
  3. Dérivées
  4. Intégrales
  5. Développements limités

Matériel

Livre

La partie théorique de ce cours sera développée pendant le CM.

Les livres suivants peuvent être utilisés comme référence :

  • Analyse, cours de première année, Exo7. Chapitres 1, 3, 4, 5, 6, 7, 10. (pdf)
  • Algèbre, cours de première année, Exo7. Chapitres 1, 2, 5. (pdf)

Sur le site Exo7 vous pouvez aussi trouver des exercices supplémentaires et des vidéos de mathématiques.

Feuilles de TD

Des feuilles de TD seront distribuées pendant les TD.

Autres

CM

Il y aura 10 séances de CM. La présence aux CM n'est pas obligatoire mais indispensable pour la compréhension des exercices proposés en TD.

Le contenu des cinq chapitres du module, avec des suggestions de lecture :

  1. Rappels

    Les ensembles des nombres. Les symboles de la logique et de la théorie des ensembles. Raisonnements par contraposée et par l'absurde. Un exemple de démonstration et du raisonnement par l'absurde : l'irrationalité de la racine carrée de deux. La droite réelle et les intervalles. Les inéquations et les systèmes d'inéquations. La valeur absolue.
    - Exo7, Les nombres réels.
    - Exo7, Logique et raisonnements.
    - Exo7, Ensembles et applications. 1. Ensembles.

    Les polynômes, les fonctions rationnelles, et la division euclidienne de polynômes. Racines et factorisation des polynômes.
    - Exo7, Polynômes.

    Le produit et le plan cartésien, l'équation de la droite et du cercle.

    Les fonctions circulaires et les formules de la trigonométrie.
    - Exo7, Leçons de choses. 3. Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente.

  2. Fonctions, limites, continuité

    Définition de fonction. Graphe. Somme, produit, quotient des fonctions. Définition de fonction paire, impaire, périodique. Fonctions majorées, minorées, bornées. Fonctions monotones. Ensemble image, fonction composée. Antécédent. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonction réciproque. Règle graphique.
    - Exo7, Limites et fonctions continues. 1. Notion de fonction.
    - Exo7, Ensembles et applications. 2. Applications. 3. Injection, surjection, bijection.

    La notion de limite. Définition de la limite finie en un point fini : définition intuitive, avec les voisinages, avec epsilon delta, symbolique. Limite infinie en un point. Limites finies et infinies à droite et à gauche. Limites à l'infini. La limite et les opérations. Les formes indéterminées. La limite et les inégalités. Théorème des gendarmes.
    - Notes sur la limite.
    - Exo7, Limites et fonctions continues. 2. Limites.

    Continuité en un point et sur un intervalle. Stabilité de la continuité par rapport aux opérations usuelles. Lemma du signe. Prolongement par continuité. Théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires. Théorème des valeurs extrêmes.
    - Exo7, Limites et fonctions continues. 3 et 4. Continuité.

    Théorème de la bijection.
    - Exo7, Limites et fonctions continues. 5. Fonctions monotones et bijections.

    Fonctions circulaires et hyperboliques inverses.
    - Exo7, Fonctions usuelles. 2 et 3. Fonctions circulaires inverses. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses.

  3. Dérivées

    Dérivée. Interprétation géométrique. Équation de la tangente. Définition équivalente de dérivabilité. Dérivées et opérations. Règle de la chaine. Dérivée de la fonction réciproque. Tout extremum local est un point critique. Dérivée et monotonie. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Règle de l'Hospital.
    - Exo7, La dérivée.

    Logarithme et exponentielle.
    - Exo7, Fonctions usuelles. 1. Logarithme et exponentielle.

  4. Intégrales

    Intégrale, example. Intégrale de Riemann. Fonction en escalier. Classes de fonctions intégrables. Relation de Chasles. Positivité. Linéarité. Intégrale du produit et de la valeur absolue. Primitives. Théorème fondamental du calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variable. Intégration des fonctions rationnelles.
    - Exo7, Intégrales.
    - Exo7, Leçons de choses. 6. Formulaire : primitives.
    - Unisciel, L'intégration des fonctions rationnelles.

  5. Développements limités

    Formule de Taylor. Reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange. Formule de Taylor-Young. Développement limité. Unicité. Opérations. Dérivée. Primitive. Calculs de limites.
    - Exo7, Développements limités.
    - Exo7, Leçons de choses. 5. Formules de développements limités.

TD

Il y aura 15 séances de TD. La présence aux séances est obligatoire.

Examens

Le contrôle continu (CC) aura lieu à fin octobre ou début novembre. Il portera sur les sujets abordés dans les trois premières feuilles de TD (TD1-TD3).

Le contrôle terminal (CT) aura lieu en janvier. Il portera sur tout le programme du module.

La note finale est la moyenne de la note du CC et de celle du CT.

Le rattrapage aura lieu en juin. Il portera sur tout le programme du module. La note finale est donnée par la seule note du rattrapage.

Pour les règles sur l'absence aux épreuves, consulter la fiche filière.

Sujets d'examen