Fonctions d’une variable réelle, limites, dérivées, développements limités, intégrales, primitives.
Connaître les fonctions élémentaires et leurs propriétés.
Savoir calculer les limites, dérivées, développements limités, primitives et intégrales.
La partie théorique de ce cours sera développée pendant le CM. Le livre suivant sera utilisé comme référence :
Il est conseillé d'acheter le livre ou d'imprimer les chapitres ci-dessus.
Sur le site Exo7 vouz pouvez aussi trouver des exercices supplémentaires et des vidéos de mathématiques.
Des feuilles de TD seront distribuées pendant le cours : 1, 2, 3, 4, 5.
Le cours va commencer le 9 septembre.
Ensembles des nombres. Langage de la logique et des ensembles. Droite réelle. Produit et plan cartésien. Équation de la droite. Distance entre deux points. Équation du cercle. Raisonnements par contraposée et par l'absurde. Démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de deux. Définition de fonction. Graphe. Somme, produit, quotient des fonctions.
Fonctions polynomiales et rationnelles. Division euclidienne des polynômes. Racines et factorisation des polynômes. Inégalités et intervalles. La valeur absolue. La notion de limite. Définition de la limite finie en un point fini : définition intuitive, avec les voisinages, avec epsilon delta, symbolique.
Calcul de limites à partir de la définition. Limite infinie en un point. Trigonométrie. Fonctions circulaires. Définition de fonction paire, impaire, périodique. Ensemble image, fonction composée. Antécédent. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonction réciproque.
Limites finies et infinies à droite et à gauche. Limites à l'infini. Unicité de la limite. La limite et les opérations. Les formes indéterminées. La limite et les inégalités. Théorème des gendarmes.
Fonctions majorées, minorées, bornées. Continuité en un point et sur un intervalle. Stabilité de la continuité par rapport aux opérations usuelles. Prolongement par continuité. Lemma du signe. Théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires. Théorème des valeurs extrêmes. Fonctions monotones.
Théorème de la bijection. Fonctions circulaires inverses. Dérivée. Interprétation géométrique. Équation de la tangente. Définition équivalente de dérivabilité. Dérivées et opérations. Règle de la chaine. Dérivée de la fonction réciproque.
Tout extremum local est un point critique. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Règle de l'Hospital.
Intégrale, example. Intégrale de Riemann. Fonction en escalier. Borne supérieure et inférieure. Classes de fonctions intégrables. Relation de Chasles. Positivité. Linéarité. Intégrale du produit et de la valeur absolue. Primitives.
Théorème fondamental du calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variable. Polynôme de Taylor. Reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange.
Développements limités.