Ce module est une introduction à l'analyse complexe.
La partie théorique de ce cours sera développée pendant le CM.
Plusieurs polycopiés sont disponibles sur internet, par exemple :
Les feuilles de TD seront distribuées pendant les séances de TD.
Feuille TD1
Feuille TD2
Feuille TD3
Remarques et compléments aux séances de TD par H. Le Ferrand. Nouveau
Des remarques sur les séries numériques par H. Le Ferrand.
Il y aura 7 séances de CM. Le cours va commencer le 6 janvier. La présence aux CM n'est pas obligatoire mais indispensable pour la compréhension des exercices proposés en TD.
Le contenu des chapitres du module :
Le plan complex : opérations, conjugué, module, argument, notation exponentielle, racines, théorème fondamental de l'algèbre, suites complexes, ensembles ouverts, fermés, compacts, connexes.
Fonctions complexes, limite, continuité.
Fonctions dérivables et fonctions holomorphes. Équations de CR. Fonction exponentielle.
Courbes et chemins. Intégrales. Primitives. Trois théorèmes de Cauchy. Domaines simplement connexes et existence de primitives. Logarithme. Puissances complexes.
Séries convergentes et absolument convergentes. Séries entières. Rayon de convergence. Théorème de Cauchy-Hadamard, critère de D'Alembert. Série de l'exponentielle, du logarithme. Théorème de Taylor. Théorème de Liouville. Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre. Ordre d'un zéro. Les zéros sont isolés. Principe du prolongement analytique.
Théorème de Laurent. Singularités isolées : apparentes, pôles, essentielles. Fonctions méromorphes.
Théorème des résidus. Application au calcul d'intégrales réelles.
Il y aura 8 séances de TD. La présence aux séances est obligatoire.
Le contrôle continu (CC) aura lieu en mars et portera sur les sujets abordés dans les deux premières feuilles de TD.
Le contrôle terminal (CT) aura lieu en mai. Il portera sur tout le programme du module.
La note finale est la moyenne de la note du CC et de celle du CT.
Le rattrapage aura lieu en juin. Il portera sur tout le programme du module. La note finale est donnée par la seule note du rattrapage.
Pour les règles sur l'absence aux épreuves, consulter la fiche filière.
