Ce module est une introduction à la théorie des fonctions d’une variable réelle et aux outils plus importants pour les étudier, notamment les limites, dérivées, intégrales, primitives, et développements limités.
La partie théorique de ce cours sera développée pendant le CM. Le livre suivant peut être utilisé comme référence :
Sur le site Exo7 vouz pouvez aussi trouver des exercices supplémentaires et des vidéos de mathématiques.
Des feuilles de TD seront distribuées pendant les TD.
Feuille TD1
Feuille TD2.1
Feuille TD2.2
Feuille TD3
Feuille TD4
Feuille TD5
Il y aura 10 séances de CM. Le cours va commencer le 7 septembre. La présence aux CM n'est pas obligatoire mais indispensable pour la compréhension des exercices proposés en TD.
Le contenu des cinq chapitres du module :
Rappels
Les ensembles des nombres. Les symboles de la logique et de la théorie des ensembles. Raisonnements par contraposée et par l'absurde. Un exemple de démonstration et du raisonnement par l'absurde : l'irrationalité de la racine carrée de deux. La droite réelle et les intervalles. Les inéquations et les systèmes d'inéquations. La valeur absolue. Les polynômes, les fonctions rationnelles, et la division euclidienne de polynômes. Racines et factorisation des polynômes. Le produit et le plan cartésien, l'équation de la droite et du cercle. Les fonctions circulaires et les formules de la trigonométrie.
Fonctions, limites, continuité
Définition de fonction. Graphe. Somme, produit, quotient des fonctions. Définition de fonction paire, impaire, périodique. Ensemble image, fonction composée. Fonctions majorées, minorées, bornées. Fonctions monotones. Antécédent. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Règle graphique. Fonction réciproque. Fonctions circulaires et hyperboliques inverses. La notion de limite. Définition de la limite finie en un point fini : définition intuitive, avec les voisinages, avec epsilon delta, symbolique. Limite infinie en un point. Limites finies et infinies à droite et à gauche. Limites à l'infini. La limite et les opérations. Les formes indéterminées. La limite et les inégalités. Théorème des gendarmes. Continuité en un point et sur un intervalle. Stabilité de la continuité par rapport aux opérations usuelles. Lemma du signe. Prolongement par continuité. Théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires. Théorème des valeurs extrêmes. Théorème de la bijection.
Dérivées
Dérivée. Interprétation géométrique. Équation de la tangente. Définition équivalente de dérivabilité. Dérivées et opérations. Règle de la chaine. Dérivée de la fonction réciproque. Tout extremum local est un point critique. Dérivée et monotonie. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Règle de l'Hospital.
Intégrales
Intégrale, example. Intégrale de Riemann. Fonction en escalier. Classes de fonctions intégrables. Relation de Chasles. Positivité. Linéarité. Intégrale du produit et de la valeur absolue. Primitives. Théorème fondamental du calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variable. Intégration des fonctions rationnelles.
Développements limités
Formule de Taylor. Reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange. Formule de Taylor-Young. Développement limité. Unicité. Opérations. Dérivée. Primitive. Calculs de limites.
Il y aura 15 séances de TD. La présence aux séances est obligatoire.
Le contrôle continu (CC) aura lieu à fin octobre avant les vacances. Il portera sur les sujets abordés dans les trois premières feuilles de TD (TD1-TD3).
Le contrôle terminal (CT) aura lieu en janvier. Il portera sur tout le programme du module.
La note finale est la moyenne de la note du CC et de celle du CT.
Le rattrapage aura lieu en juin. Il portera sur tout le programme du module. La note finale est donné par la seule note du rattrapage.
Pour les règles sur l'absence aux épreuves, consulter la fiche filière.